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berechnungen:festigkeitsberechnung [2025/01/15 13:50] – cschallberechnungen:festigkeitsberechnung [2025/09/03 12:23] (aktuell) – [Vergleichsspannung] neelest
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 +
 +===== Vergleichsspannung =====
  
 Die Festigkeitsberechnung legt mit der Schubspannungshypothese nach TRESCA die Höchstbelastung der Schnecke fest:  Die Festigkeitsberechnung legt mit der Schubspannungshypothese nach TRESCA die Höchstbelastung der Schnecke fest: 
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 $$σ_v = \sqrt {(σ_x - σ_y)^2 + 4τ_{xy}^2}$$ $$σ_v = \sqrt {(σ_x - σ_y)^2 + 4τ_{xy}^2}$$
  
-Oberhalb dieser Spannung kommt es zum Versagen der Schnecke. Da es sich bei der Rotation der Schnecke ausschließlich um eine Torsion handelt und weder eine Biegung noch eine Normalkraft auftreten wird die Hypothese vereinfacht angewendet und nur die aus der Torsion resultierende Schubspannung berücksichtigt. Die auftretende Schubspannung berechnet sich nach folgender Formel: +Da es sich bei der Rotation der Schnecke ausschließlich um eine Torsion handelt kann die Hypothese vereinfacht angewendet und nur die aus der Torsion resultierende Schubspannung berücksichtigt werden. Da auch eine Biegung der Schnecke vernachlässigt werden kann, kann somit auch die Normalspannung in y-Richtung $\sigma_y$ vernachlässigt werden. Die Normalspannung in x-Richtung $\sigma_x$ ergibt sich somit lediglich aus den Drücken am Anfang und am Ende der Schnecke. 
 + 
 +$$σ_v = \sqrt {σ_x^2 + 4τ_{xy}^2}$$ 
 + 
 +Die Schneckenfestigkeit ist gegeben, wenn die auftretende Vergleichspannung $\sigma_v$ kleiner der zulässigen Spannung ist. Die zulässige Spannung entspricht typischerweise der Streckgrenze $R_{p0,2}$. 
 + 
 +===== Normalspannung ===== 
 + 
 +Die in der Schnecke auftretende Normalspannung in x-Richtung ergibt sich aus den Drücken am Anfang und am Ende der Schnecke. 
 +Hierbei spielt der Druck am Trichter in der Regel keine große Rolle und ist normalerweise lediglich für Schmelzeextruder relevant. 
 + 
 +$$\sigma_x = \sigma_{x,Trichter} + \sigma_{x,Scheckenspitze}$$ 
 +$$\text{mit}$$ 
 +$$\sigma_{x,Trichter} = \frac{p_{Trichter} \cdot A_{projiziert}}{A_{Schneckenkern}} = p_{Trichter}\cdot \frac{D^2-d^2}{d^2}$$ 
 +$$\text{und}$$ 
 +$$\sigma_{x,Schneckenspitze} = \frac{p_{Gegendruck} \cdot A_{projiziert}}{A_{Schneckenkern}} = p_{Gegendruck}\cdot \frac{D^2}{d^2}$$ 
 + 
 +Mit dem Nenndurchmesser $D$ und dem Schneckenkerndurchmesser $d$.\\ 
 +Die wirkende Kraft ergibt sich aus dem Druck und der projizierte Fläche, auf welche der Druck wirkt. Es wird angenommen, dass die Drukspannung lediglich durch den Schneckenkern geleitet wird. 
 + 
 +===== Schubspannung ===== 
 + 
 +Die auftretende Schubspannung infolge der Drehmomentbelastung berechnet sich nach folgender Formel: 
  
-$$τ_{max} = \frac{M_t}{W_t} = \frac{M_t \cdot a_{max}}{I_p}$$+$$\tau_{nenn} = \frac{M_t}{W_t} = \frac{M_t \cdot a_{max}}{I_p}$$
  
 mit dem Drehmoment $M_t$, dem Widerstandsmoment $W_t$, dem polaren Flächenträgheitsmoment $I_p$ und dem maximalen senkrechten Abstand $a_{max}$ der Randfaser zur neutralen (spannungsfreien) Faser. mit dem Drehmoment $M_t$, dem Widerstandsmoment $W_t$, dem polaren Flächenträgheitsmoment $I_p$ und dem maximalen senkrechten Abstand $a_{max}$ der Randfaser zur neutralen (spannungsfreien) Faser.
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 mit dem Radius am Steg $r$, der Radiusdifferenz $t = \frac{D}{2} - \frac{d}{2} = h$, dem Schneckenkerndurchmesser $d$ und dem Schneckenaußendurchmesser $D$. mit dem Radius am Steg $r$, der Radiusdifferenz $t = \frac{D}{2} - \frac{d}{2} = h$, dem Schneckenkerndurchmesser $d$ und dem Schneckenaußendurchmesser $D$.
  
-Zusammen mit der Kerbwirkungszahl $\beta_{\sigma,\tau}$ (DIN 743-2):+Aus der Formzahl kann weiterhin die Kerbwirkungszahl $\beta_{\tau}$ (DIN 743-2) berechnet werden:
  
 $$\beta_{\tau} = \frac{\alpha_\tau}{n}$$ $$\beta_{\tau} = \frac{\alpha_\tau}{n}$$
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 $$G'=\frac{1,15}{r}$$ $$G'=\frac{1,15}{r}$$
  
-lässt sich der Gesamteinflussfaktor $K_\tau$ berechnen (DIN 743-1):+Der Gesamteinflussfaktor $K_\tau$ (DIN 743-1) berechnet sich wie folgt:
  
 $$K_\tau = \left( \frac{\beta_\tau}{K_2(d)}+\frac{1}{K_{F,\tau}}-1 \right)\cdot \frac{1}{K_V}$$ $$K_\tau = \left( \frac{\beta_\tau}{K_2(d)}+\frac{1}{K_{F,\tau}}-1 \right)\cdot \frac{1}{K_V}$$
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 $$K_2(d)=1-0,2 \frac{log(d/7,5\,mm)}{log(20)} \text{     mit     } K_2(d>150\,mm)=0,8$$ $$K_2(d)=1-0,2 \frac{log(d/7,5\,mm)}{log(20)} \text{     mit     } K_2(d>150\,mm)=0,8$$
  
-sowie mit dem Einfluss der Oberflächenrauheit $K_{F,\tau}=1$ und dem Einfluss der Oberflächenverfestigung $K_V = 1,15$ für nitrierte Oberflächen.+sowie mit dem Einfluss der Oberflächenrauheit $K_{F,\tau}=1$ für polierte Oberflächen und dem Einfluss der Oberflächenverfestigung $K_V$. $K_V$ beträgt 1,15 bis 1,25 für nitrierte Oberflächen, 1,2 bis 2,1 für einsatzgehärtete Oberflächen und 1,2 bis 1,6 für induktivgehärtete Oberflächen. Die Werte gelten bis zu einem Durchmesser von 25 mm und nehmen ab diesem Wert hin linear ab bis zu einem Wert von 1,0 bei 40 mm Durchmesser. Oberhalb von 40 mm Durchmesser bleibt es bei einem Wert von 1,0.
  
-Die unter Berücksichtigung der Einflussfaktoren auftretende Spannung ergibt sich zu:+Die unter Berücksichtigung der Einflussfaktoren auftretende Schubspannung ergibt sich zu:
  
-$$\tau_{max,korr.}=\frac{\tau_{max}}{K_\tau}$$+$$\tau_{xy} = \tau_{max}=\tau_{nenn} \cdot K_\tau$$
  
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