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--- berechnungen:verweilzeit [2025/01/15 10:15] – cschall
+++ berechnungen:verweilzeit [2026/09/10 14:05] (aktuell) – [Verweilzeitverteilung] cschall
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 ======Verweilzeit======
+===== Verweilzeitverlauf =====
+-> [[grafische_darstellung_der_ergebnisse:verweilzeit|Zur grafischen Darstellung des Verweilzeitverlaufs]]
 Für die Berechnung der Verweilzeit werden grundsätzlich die gleichen Angaben wie für die Aufschmelzverlaufsberechnung vorausgesetzt, zusätzlich wird bei **PSI** noch die Einspritzzeit benötigt.
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 Die minimale Verweilzeit ergibt sich zu:
-$$\frac{t_{min}}{\bar{t}}=\frac{\dot{\pi}_m^{0,23(1-n)}}{2(1,249-0,589n)}$$
+$$\frac{t_{min}}{\bar{t}}=\frac{\pi_\dot m^{0,23(1-n)}}{2(1,249-0,589n)}$$
-mit dem [[berechnungen:schlepp-druckstroemung|dimensionslosen Massedurchsatz $\dot{\pi}_m$]] und dem [[materialdaten:rheologische_materialdaten|Fließgesetzexponenten n]].
+mit dem [[berechnungen:schlepp-druckstroemung|dimensionslosen Massedurchsatz $\pi_\dot m$]] und dem [[materialdaten:rheologische_materialdaten|Fließgesetzexponenten n]].
 **Nur PSI:** Sobald die berechnete Verweilzeit gleich der Dosierzeit ist, wird die Stillstandszeit und die Einspritzzeit darauf addiert. Dieses Verfahren wird solange fortgesetzt, bis die Schneckenspitze erreicht ist.
+===== Verweilzeitverteilung =====
+-> [[grafische_darstellung_der_ergebnisse:verweilzeitverteilung|Zur grafischen Darstellung der Verweilzeitverteilung]]
+Die Verweilzeitverteilung beschreibt die Verweilzeit, die der Kunststoff braucht, bis er die Schneckenspitze erreicht. Die minimale Verweilzeit errechnet sich wie oben beschrieben. Die maximale Verweilzeit beträgt in der Theorie unendlich. Die kumulierte Verweilzeit nähert sich somit asymptotisch den 100% an.
+**Umsetzung der theoretischen Grundlagen**
+Die kumulierte Verweilzeitverteilung kann als doppelte Weibull-Verteilung approximiert werden:
+$$ F(\Theta) =  \left[1-e^{-C_1 \left(\frac{\Theta-\Theta_{min}}{1-\Theta_{min}}\right)^{C_2}}\right] \left[1-e^{-C_3 \left(\frac{\Theta-\Theta_{min}}{1-\Theta_{min}}\right)^{C_4}}\right]$$
+hierbei entspricht $\Theta$ der dimensionslosen Verweilzeit
+$$\Theta = \frac{t}{\bar{t}}$$
+mit der mittleren Verweilzeit $\bar{t}$ und der minimalen dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_{min} = \frac{t_{min}}{\bar{t}}$
+Die Verweilzeitdichte ergibt sich als Ableitung der kumulierten Verweilzeit zu:
+$$ f(\Theta) = \frac{1}{1-\Theta_{\min}} \left( C_1 C_2 \left(C_1 \cdot x\right)^{C_2-1} e^{-\left(C_1 \cdot x\right)^{C_2}} \left(1-e^{-\left(C_3 \cdot x\right)^{C_4}}\right) + C_3 C_4 \left(C_3 \cdot x\right)^{C_4-1} e^{-\left(C_3 \cdot x\right)^{C_4}} \left(1-e^{-\left(C_1 \cdot x\right)^{C_2}}\right) \right) $$
+mit $x = \frac{\Theta-\Theta_{\min}}{1-\Theta_{\min}}$
+Die Verweilzeitverteilung ist somit lediglich abhängig von der dimensionslosen minimalen Verweilzeit sowie der Parameter $C_1$ bis $C_4$.
+**Schmelzeextruder**
+Es vereinfacht sich die kumulierte Verweilzeitverteilung zu einer einfachen Weibull-Verteilung
+$$ C_1 = -\ln\left(0.3679 \cdot \left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.3}\right) $$
+$$
+C_2 =
+\begin{cases}
+-\dfrac{2}{3}\Theta_{\min}, & \Theta_{\min} \leq 0.71, \\[6pt]
+e^{-1.2371\left(C_1-1\right)^{0.6573}}, & 0.71 < \Theta_{\min} \leq 0.978, \\[6pt]
+.2632 \cdot e^{-0.55\left(C_1-2.3145\right)^{0.9}}, & \Theta_{\min} > 0.978.
+\end{cases}
+$$
+$$ C_3 \to \infty$$
+$$ C_4 = 0 $$
+Für **Glattrohrextruder** werden folgende Parameter verwendet:
+$$ C_1 = -\ln\left(\frac{\left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.47}}{e}\right) $$
+$$ C_2 = \left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.6} $$
+$$ C_3 = 3.33 + \frac{1}{\left[\sin\left(\pi \Theta_{\min}\right)\right]^{0.9}} $$
+$$ C_4 = 1.65 \cdot \left[\sin\left(\pi \Theta_{\min}\right)\right]^{0.25} $$
+Für **Nutbuchsenextruder** folgende Parameter:
+$$ C_1 = -\ln\left(0.36 \cdot \left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.121}\right) $$
+$$ C_2 = \left(2-C_1\right)^{1.1} $$
+$$ C_3 = 5.8 - 1.375 \cdot \left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.25} $$
+$$ C_4 = 2.3 - 2.0 \cdot \sqrt{1-\Theta_{\min}} $$
 ===Weitere Themen===
   * [[berechnungen:einfache_berechnung]]
+  * [[berechnungen:prozess_iterieren]]
   * [[berechnungen:durchsatz]]
   * [[berechnungen:druckverlauf]]
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   * [[berechnungen:temperaturverlauf]]
   * [[berechnungen:leistung_und_schubspannungen]]
+  * [[berechnungen:schergeschwindigkeit]]
   * [[berechnungen:verweilzeit]]
   * [[berechnungen:verweilzeitverteilung]]