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--- berechnungen:verweilzeit [2026/09/10 13:43] – [Verweilzeitverteilung] cschall
+++ berechnungen:verweilzeit [2026/09/10 14:05] (aktuell) – [Verweilzeitverteilung] cschall
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 **Umsetzung der theoretischen Grundlagen**
-Die kumulierte Verweilzeitverteilung kann als doppelte Weibullverteilung approximiert werden:
+Die kumulierte Verweilzeitverteilung kann als doppelte Weibull-Verteilung approximiert werden:
-$$ F(\Theta) = [1-e^{-C_1 (\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1})^{C_2}}][1-e^{-C_3 (\frac{\Theta-\Theta_1}{1-\Theta_1})^{C_4}}]$$
+$$ F(\Theta) =  \left[1-e^{-C_1 \left(\frac{\Theta-\Theta_{min}}{1-\Theta_{min}}\right)^{C_2}}\right] \left[1-e^{-C_3 \left(\frac{\Theta-\Theta_{min}}{1-\Theta_{min}}\right)^{C_4}}\right]$$
 hierbei entspricht $\Theta$ der dimensionslosen Verweilzeit
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 $$\Theta = \frac{t}{\bar{t}}$$
-mit der mittleren Verweilzeit $\bar{t}$ und der minimalen dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_1 = \frac{t_{min}}{\bar{t}}$
+mit der mittleren Verweilzeit $\bar{t}$ und der minimalen dimensionslosen Verweilzeit $\Theta_{min} = \frac{t_{min}}{\bar{t}}$
+Die Verweilzeitdichte ergibt sich als Ableitung der kumulierten Verweilzeit zu:
+$$ f(\Theta) = \frac{1}{1-\Theta_{\min}} \left( C_1 C_2 \left(C_1 \cdot x\right)^{C_2-1} e^{-\left(C_1 \cdot x\right)^{C_2}} \left(1-e^{-\left(C_3 \cdot x\right)^{C_4}}\right) + C_3 C_4 \left(C_3 \cdot x\right)^{C_4-1} e^{-\left(C_3 \cdot x\right)^{C_4}} \left(1-e^{-\left(C_1 \cdot x\right)^{C_2}}\right) \right) $$
+mit $x = \frac{\Theta-\Theta_{\min}}{1-\Theta_{\min}}$
+Die Verweilzeitverteilung ist somit lediglich abhängig von der dimensionslosen minimalen Verweilzeit sowie der Parameter $C_1$ bis $C_4$.
+**Schmelzeextruder**
+Es vereinfacht sich die kumulierte Verweilzeitverteilung zu einer einfachen Weibull-Verteilung
+$$ C_1 = -\ln\left(0.3679 \cdot \left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.3}\right) $$
+$$
+C_2 =
+\begin{cases}
+-\dfrac{2}{3}\Theta_{\min}, & \Theta_{\min} \leq 0.71, \\[6pt]
+e^{-1.2371\left(C_1-1\right)^{0.6573}}, & 0.71 < \Theta_{\min} \leq 0.978, \\[6pt]
+.2632 \cdot e^{-0.55\left(C_1-2.3145\right)^{0.9}}, & \Theta_{\min} > 0.978.
+\end{cases}
+$$
+$$ C_3 \to \infty$$
+$$ C_4 = 0 $$
+Für **Glattrohrextruder** werden folgende Parameter verwendet:
+$$ C_1 = -\ln\left(\frac{\left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.47}}{e}\right) $$
+$$ C_2 = \left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.6} $$
+$$ C_3 = 3.33 + \frac{1}{\left[\sin\left(\pi \Theta_{\min}\right)\right]^{0.9}} $$
+$$ C_4 = 1.65 \cdot \left[\sin\left(\pi \Theta_{\min}\right)\right]^{0.25} $$
+Für **Nutbuchsenextruder** folgende Parameter:
+$$ C_1 = -\ln\left(0.36 \cdot \left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.121}\right) $$
+$$ C_2 = \left(2-C_1\right)^{1.1} $$
+$$ C_3 = 5.8 - 1.375 \cdot \left(1-\Theta_{\min}\right)^{0.25} $$
+$$ C_4 = 2.3 - 2.0 \cdot \sqrt{1-\Theta_{\min}} $$
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