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Mischkennzahlen
→ Zur grafischen Darstellung der Mischkennzahlen
In REX/PSI werden sowohl analytische Mischkennzahlen, als auch Regressionsmodelle basierend auf numerischen Simulationen zur Mischwirkung verschiedener Zonentypen bereitgestellt.
Analytische Mischkennzahlen
Im Kurzbericht sowie im Mischungsdreieck werden drei analytischen Mischkennzahlen für die berechnete Schnecke dargestellt.
Quermischgrad
Der Quermischgrad $\pi_{LSM}$ berechnet sich wie folgt: $$\pi_{LSM} = \left[ 1 + \left(c_0 \overline{\gamma} \right)^2 \right]^{-1/2}$$ $$\text{mit}$$ $$\overline{\gamma} = \frac{2 \left(1,03 + 0,074n \right) L}{\cos\varphi \sin\varphi} \cdot \frac{1}{h_1 \, \pi_\dot{m}}$$ $$\text{und}$$ $$c_0 = c_1 \sqrt{\frac{h_1}{h_0}} \left(\frac{T_z}{T_0}\right)^{c_2} \frac{n^{c_3}}{\pi_\dot{m}}$$
mit c1=0,08367, c2=0,7067 und c3=0,344
Längsmischkennzahl
Der Längsmischgrad $\sigma^2$ berechnet sich wie folgt:
$$\sigma^2 = 1 + \exp(c_1 \Theta_{min}^{c_2}) - \exp(c_3 \Theta_{min})$$
mit der dimensionslosen minimalen Verweilzeit $\Theta_{min} = \frac{t_{min}}{\bar{t}}$ und
| Extrudertyp | c1 | c2 | c3 |
|---|---|---|---|
| Schmelzeextruder | 0,2476 | 0,6014 | 0,8301 |
| konv. Plastifizierextruder | -4,8828 | 2,1287 | 0,0028505 |
| Nutbuchsenextruder | -2,368 | 1,1268 | 0,1186 |
Agglomeratzerkleinerung
Der Agglomeratzerkleinerungsgrad $Z$ berechnet sich wie folgt:
$$Z=\left[ 1+\left( \frac{t}{c_{31}}\right)^{c_{21}}\left( ln\left( \frac{\tau}{\tau_{min}}\right)\right)^{1/c_{11}}\right]^{-1}$$
mit der aktuell vorliegenden Schubspannung $\tau$, der minimalen Schubspannung $\tau_{min}$ und den drei Zerfallskonstanten $c$. Die minimale Schubspannung sowie die drei Zerfallskonstanten sind Materialparameter. REX bietet auf Knopfdruck Standardwerte an.
Numerische Mischkennzahlen
Die numerische Mischgüte wird aus folgenden zwei Kenngrößen zur Bestimmung der dispersiven und distributiven Mischgüte, welche von 100% – gut bis 0% – schlecht gewichtet sind: Aktuell ist die numerische Mischgüteberechnung für Kreuzlochmisch-, Rautenmisch-, Wendelscherelemente sowie Meteringzonen verfügbar. Die Berechnung erfolgt lediglich für Zonen, in denen eine vollständig aufgeschmolzene Schmelze vorliegt, da die Basis der Kennzahl CFD-Simulationen sind. Dies wird in Zukunft kontinuierlich erweitert.
1. Dispersive Mischwirkung
Die dispersive Mischgüte basiert auf einer Regressionsgleichung für den sog. Mixing Index nach Manas, die mittels numerischer Untersuchungen anhand eines CCD-Versuchsplanes ermittelt wurde. Der Mixing Index nach Manas ist ein quantitatives Maß zur Beschreibung der Mischgüte numerischer Untersuchungen, welches Rückschlüsse über das dispersive Mischverhalten zulässt. Die Kennzahl wird aus dem Deformationsgradienten- und dem Wirbeltensor ermittelt: \[ \lambda = \frac{|\Gamma|}{|\Gamma| + |\omega|} \] \[ \nabla \vec{v} = \begin{pmatrix} \frac{\partial v_x}{\partial x} & \frac{\partial v_x}{\partial y} & \frac{\partial v_x}{\partial z} \\ \frac{\partial v_y}{\partial x} & \frac{\partial v_y}{\partial y} & \frac{\partial v_y}{\partial z} \\ \frac{\partial v_z}{\partial x} & \frac{\partial v_z}{\partial y} & \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{pmatrix} \]
\[ \Gamma = \frac{\left(\nabla \vec{v} + \nabla \vec{v}^T\right)}{2} \]
\[ \omega = \frac{\left(\nabla \vec{v} - \nabla \vec{v}^T\right)}{2} \]
\(\lambda\): Manas-Zahl
\(\Gamma\): Deformationsgradiententensor
\(\omega\): Wirbeltensor
\(\nabla \vec{v}\): Geschwindigkeitsgradient
Die Manas-Zahl charakterisiert die vorliegende Strömungsart und ist wie folgt
unterteilt:
- λ = 1 reine Dehnung
- λ = 0,5 reine Scherströmung
- λ = 0 reine Rotation
2. Distributive Mischwirkung
Die distributive Mischgüte basiert auf einer mittels eines CCD-Versuchsplans ermittelten Regressionsgleichung für die Auswertemethode einer Partikelverteilung basierend auf der Delaunay Triangulierung, die wie folgt durchgeführt wurde:
Auf Basis des numerisch berechneten Strömungsgebietes kann mittels der sog. Particle-Tracking-Methode die Partikeltrajektorie einer zu Beginn des Strömungsgebietes bzw. zu Beginn der Geometrie eingangs festgelegten Partikelverteilung berechnet werden. Die am Ende des Strömungsgebietes lokalisierte Partikelverteilung im zweidimensionalen Querschnitt wurde anschließend auf die Homogenität hin untersucht. Hierzu wurde mit Hilfe der Delaunay Triangulierung ein Dreiecksnetz aufgespannt. Als Kenngröße für die Auswertung bzw. als Maß für die Mischgüte wird an dieser Stelle die Korrelation, dass homogene Flächeninhalte der sich aufspannenden Dreiecke mit einer homogen verteilten Partikelverteilung einhergehen, verwendet. Als Auswertungsgröße dient der sog. Variationskoeffizient, der die Standardabweichung der Dreiecksflächen auf den mittleren Flächeninhalt bezieht. Bei Gleichverteilung aller Partikel ist der Variationskoeffizient null (Mischgüte 100 %), der Variationskoeffizient der Ausgangsverteilung (alle Partikel in einer Kanalhälfte) wird zu 0 % definiert.
3. Thermische Mischwirkung
Für das Kreuzlochmischteil wird eine zusätzliche Kenngröße berechnet, die die Effektivität des radialen Temperaturausgleichs bewertet. Erforderlich ist dies, da ein gezielter Temperaturaustausch radial zum Kanal nicht mit den Ergebnissen der distributiven Mischwirkung korreliert. Für Mischteile, die eine generelle Durchmischung (Umfangs-, Radial- und Längsrichtung) anstreben, korreliert die thermische Mischwirkung mit der distributiven. Beim Kreuzlochmischteil, das einen reinen Austausch zwischen Fluidschichten am Schneckengrund und der Zylinderwand forciert, ist eine gesonderte Betrachtung erforderlich. Aus den isothermen CFD-Simulationen kann per Definition keine direkte Aussage über Temperaturverteilungen gewonnen werden. Daher wird im Rahmen des Particle-Trackings die Bahnkurve jedes einzelnen Partikels analysiert. Es wird die Position im Kanal über den Verlauf des Mischteils bewertet sowie eine Betrachtung der Graetz-Zahl durchgeführt, um den Einfluss des Betriebspunktes abzubilden. Eine hohe Mischwirkung ergibt sich dann, wenn alle Partikel ausreichend Zeit an Zylinderwand und Schneckengrund verbracht haben und einen effektiven Wechsel zwischen beiden Bereichen vollziehen.
