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Faserlängenabbau
Ursprünglicher Berechnungsansatz "Faserlängenabbau"
Die Berechnung findet unter der Berücksichtigung der zeitlichen regressiven Abnahme der mittleren Faserlänge während Schervorgängen statt. Diese wird durch folgende Gleichung beschrieben: $$\frac{dl}{dt_v}=-c \cdot l^2$$
mit $$l = \frac{L-L_∞}{L_0-L_∞}, 0 < l ≤ 1$$
Die Lösung der Gleichung und das Einsetzen der Randbedingungen liefert folgende beschreibende Gleichung:
$$l(t_V) = \frac{1}{\frac{t_V}{t_0}+1}$$
Dabei stellt $t_0$ die Zeitkonstante dar, bei der eine Halbierung der Fasern auftritt. Die Zeitkonstante wird unter Berücksichtigung der Strömungsvorgänge während der Plastifizierung durch eine energetische Betrachtung des Faserbruchs bestimmt. Um eine Faser zu brechen wird Energie aufgewendet. Diese Energie ruft ein Knicken nach dem zweiten eulerschen Knickfall hervor. Durch den Knickvorgang findet ein mittiger Bruch der Faser und somit eine Halbierung der Faserlänge statt. Die Energie, die für das Knicken benötigt wird, kann ausschließlich über die Schneckenbewegung in Form von Dissipation in den Prozess eingebracht werden. Allgemein kann die im Prozess erzeugte Dissipationsenergie wie folgt beschrieben werden:
$$E_{diss} = η \cdot \dot γ^2 \cdot V \cdot t_V$$
Dabei ist $V$ das Schmelzevolumen des betrachteten Bereichs, $η$ die Viskosität des Kunststoffs, $\dot γ$ die Schergeschwindigkeit und $t_V$ die Verweilzeit.
Die für die Brechung der Fasern in dem gegebenen Schmelzevolumen erforderliche Energie kann für den zweiten eulerschen Knickfall unter Annahme eines linear elastischen Verhaltens wie folgt ausgedrückt werden:
$$E_{break} = V \cdot Φ \cdot \frac{E \cdot ε_B}{2}$$
Durch die Nutzung der energetischen Gleichungen wird die Zeitkonstante $t_0$ bestimmt und in Gleichung 2 eingesetzt. Daraus ergibt sich die beschreibende Gleichung für den Faserlängenabbau, die in REX/PSI Verwendung findet (Gl. 5).
$$l(t_V) = \frac{κ \cdot Φ \cdot E \cdot ε_B }{t_V \cdot ζ \cdot 2 \cdot η \cdot \dot γ^2 + κ \cdot Φ \cdot E \cdot ε_B}$$
Neue Berechnungsmodellierung "Faserlängenverteilung"
Benötigte Eigenschaften der Verstärkungsfasern bzw. des Compounds
- Zugfestigkeit
- Bruchdehnung
- Elastizitätsmodul
- Dichte
- Fasergewichtsanteil
Ergebnisse der Faserbruchberechnung
- Anzahlgewichtete Faserlänge:
$$L_n = \frac{∑_in_i \cdot l_i}{∑_i n_i}$$
- Volumengewichtete Faserlänge:
$$L_v = \frac{∑_i n_i \cdot {l_i}^2}{∑_i n_i \cdot l_i}$$
- Häufigkeitsverteilung der Faserlängen: $l_i$
Ablauf der Bruchberechnung
Bei der Berechnung der Faserlängenabnahme im Plastifizierprozess wird zwischen verschiedenen Zonen und den dort auftretenden Schädigungsmechanismen unterschieden.
Berechnung des Faserbruchs an der Grenzfläche Feststoffbett - Schmelzefilm
Bei der Verarbeitung von kurzfaserverstärkten Granulaten kommt es dazu, dass an der Grenzfläche zwischen Feststoffbett und Schmelzefilm Fasern partiell aus dem Granulatkorn freigelegt werden. Diese einseitig verankerten Fasern werden von der Schmelze umströmt und können durch diese Belastung versagen. Bei langfaserverstärkten Materialien tritt dieser Versagensfall nicht auf. Aufgrund der Stäbchenform der LGF-Granulate und dem hohen l/d -Verhältnis kommt es nicht dazu, dass senkrecht orientierte Fasern im Schmelzefilm auftreten.
Um zu prüfen, ob die an der Grenzfläche eingespannten Fasern brechen wird ein Bruchkriterium definiert. Dies setzt die Biegespannung, die von der Schmelze auf die einzelne Faser ausgeübt wird ins Verhältnis zur Zugfestigkeit der Faser. Wenn die Biegespannung der Faser höher ist als die Zugfestigkeit der Faser, wird ein Versagen der Faser angenommen.
Bruchbedingung:
$$\frac{σ_{hydro}}{R_m} > 1$$
Berechnung des Faserbruchs in einer Schmelzeströmung
Zusätzlich zum Faserbruch an der Grenzfläche, kommt es im Schmelzefilm und im Schmelzewirbel zur Schädigung von Fasern, die sich frei in der Schmelze bewegen. Der hier auftretende Faserbruch wird wie folgt berechnet:
Es wird grundlegend davon ausgegangen, dass der Versagensfall durch Ausknicken der Fasern unter Druckbelastung erfolgt. Das Bruchkriterium ergibt sich somit aus der kritischen Knickkraft berechnet nach dem zweiten Eulerschen Knickfall und der hydrodynamischen Kraft $F_i$ die von der Schmelze auf die Faser ausgeübt wird.
$$\frac{F_i}{F_{kritische Knickkraft}} = \frac{8 \cdot ζ \cdot η_m \cdot {l_i}^4}{π^3 \cdot E_f \cdot {d_f}^4} (-D:A) > 1$$
$$F_i = \frac{ζ \cdot η_m \cdot {l_i}^2}{8}(-D:A)$$
$$F_{Buckling} = \frac{π^3 \cdot E_f \cdot {d_f}^4}{64 \cdot {l_i}^2}$$
$D$ = Deformationstensor
$A$ = Orientierungstensor
$ζ$ = Widerstandsbeiwert
In Abhängigkeit davon, ob das Bruchkriterium erfüllt ist, wird die Bruchwahrscheinlichkeit $P_i$ definiert. Durch den Faserinteraktionskoeffizient $C_{FB}$ wird der Einfluss der Faser-Faser-Interaktion bzw. des Faservolumenanteils auf den Faserbruch berücksichtigt. Neben dem Faservolumenanteil ist der Faserinteraktionskoeffizient zusätzlich von der Fließgeschwindigkeit im Kanal und der Faserlänge abhängig.
$$ \mathrm{P_i} = \begin{cases} 0 & \text{für } \frac{F_i}{F_{crit}} \leq 1 \\ C_{FB,i}*\left( 1-exp\left( 1- \frac{F_i}{F_{Buckling}}\right) \right) & \text{für } \frac{F_i}{F_{crit}} > 1 \end{cases} $$
Die Bruchposition der Faser entlang der Länge $l_i$ wird mit der Annahme einer Normalverteilung und der Definition einer Bruchübergangsmatrix beschrieben.
$$R_{ji} = normpdf (l_j, \frac{l_i}{2}, Sl_i)$$
Abschließend erfolgt die Normalisierung der Übergangsmatrix auf die Bruchwahrscheinlichkeit.
$$∑_j R_{ji} = 2 P_i$$
Das hier genutzte Bruchmodell beruht auf dem Modell von Phelps aus dem Jahr 2009 zur Berechnung des Faserbruchs im Spritzgießwerkzeug. Das Modell wurde jedoch um die Berücksichtigung des Faserinteraktionskoeffizienten erweitert, indem die Berechnung der Bruchwahrscheinlichkeit modifiziert wurde.
Berechnung des Faserbruchs in einem Schneckenkanalsegment
Für die verschiedenen Abschnitte des Schneckenkanals wird der auftretende Faserbruch und die daraus resultierenden Faserlängen in den einzelnen Teilbereichen berechnet und anschließend über volumetrische Gewichtung addiert.
Folgend ein Überblick über die verschiedenen Varianten, die auftreten und welche Bruchberechnungen dort berücksichtigt werden.
Faserbruchberechnung im Mischbereich Feststoffbett + Schmelzefilm
KGF: Bruchmodell zur Berechnung des Faserbruchs an der Grenzfläche + Bruchmodell für Schmelzeströmung im Schmelzefilm
LFT: Bruchmodell für Schmelzeströmung im Schmelzfilm
Faserbruchberechnung im Mischbereich Feststoffbett + Schmelzefilm + Schmelzewirbel
KGF: Bruchmodell zur Berechnung des Faserbruchs an der Grenzfläche + Bruchmodell für Schmelzeströmung im Schmelzefilm + Bruchmodell für Schmelzeströmung im Schmelzewirbel
LFT: Bruchmodell für Schmelzeströmung im Schmelzefilm + Bruchmodell für Schmelzeströmung im Schmelzewirbel
Faserbruchberechnung im reinen Schmelzebereich
Bruchmodell für Schmelzeströmung
