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Festigkeitsberechnung
Die Festigkeitsberechnung legt mit der Schubspannungshypothese nach TRESCA die Höchstbelastung der Schnecke fest:
$$σ_v = \sqrt {(σ_x - σ_y)^2 + 4τ_{xy}^2}$$
Oberhalb dieser Spannung kommt es zum Versagen der Schnecke. Da es sich bei der Rotation der Schnecke ausschließlich um eine Torsion handelt und weder eine Biegung noch eine Normalkraft auftreten wird die Hypothese vereinfacht angewendet und nur die aus der Torsion resultierende Schubspannung berücksichtigt. Die auftretende Schubspannung berechnet sich nach folgender Formel:
$$τ_{max} = \frac{M_t}{W_t} = \frac{M_t \cdot a_{max}}{I_p}$$
mit dem Drehmoment $M_t$, dem Widerstandsmoment $W_t$, dem polaren Flächenträgheitsmoment $I_p$ und dem maximalen senkrechten Abstand $a_{max}$ der Randfaser zur neutralen (spannungsfreien) Faser.
Ein weiterer Einflussfaktor zur Berechnung der Schneckenfestigkeit ist der Radius, der den Übergang von Schneckengrund zum Steg beschreibt. Für diesen geometrischen Einfluss ist eine Formzahl (abgesetzter Rundstab bei Torsion, DIN 743-2) definiert:
$$\alpha_{\tau} = 1+ \frac{1}{\sqrt{3,4 \cdot \frac{r}{t} + 38 \cdot \frac {r}{d} (1+ 2 \cdot \frac{r}{d})^2 + (\frac{r}{d})^2 \cdot \frac{d}{D}}}$$
mit dem Radius am Steg $r$, der Radiusdifferenz $t = \frac{D}{2} - \frac{d}{2} = h$, dem Schneckenkerndurchmesser $d$ und dem Schneckenaußendurchmesser $D$.
Zusammen mit der Kerbwirkungszahl $\beta_{\sigma,\tau}$ (DIN 743-2):
$$\beta_{\tau} = \frac{\alpha_\tau}{n}$$ $$\text{mit}$$ $$n=1+\sqrt{G' \cdot mm} \cdot 10^{-0,7}$$ $$\text{und}$$ $$G'=\frac{1,15}{r}$$
lässt sich der Gesamteinflussfaktor $K_\tau$ berechnen (DIN 743-1):
$$K_\tau = \left( \frac{\beta_\tau}{K_2(d)}+\frac{1}{K_{F,\tau}}-1 \right)\cdot \frac{1}{K_V}$$ $$\text{mit}$$ $$K_2(d)=1-0,2 \frac{log(d/7,5\,mm)}{log(20)} \text{ mit } K_2(d>150\,mm)=0,8$$
sowie mit dem Einfluss der Oberflächenrauheit $K_{F,\tau}=1$ und dem Einfluss der Oberflächenverfestigung $K_V = 1,15$ für nitrierte Oberflächen.
Die unter Berücksichtigung der Einflussfaktoren auftretende Spannung ergibt sich zu:
$$\tau_{max,korr.}=\frac{\tau_{max}}{K_\tau}$$