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Festigkeitsberechnung
Vergleichsspannung
Die Festigkeitsberechnung legt mit der Schubspannungshypothese nach TRESCA die Höchstbelastung der Schnecke fest:
$$σ_v = \sqrt {(σ_x - σ_y)^2 + 4τ_{xy}^2}$$
Da es sich bei der Rotation der Schnecke ausschließlich um eine Torsion handelt kann die Hypothese vereinfacht angewendet und nur die aus der Torsion resultierende Schubspannung berücksichtigt werden. Da auch eine Biegung der Schnecke vernachlässigt werden kannm kann somit auch die Normalspannung in y-Richtung $\sigma_y$ vernachlässigt werden. Die Normalspannung in x-Richtung $\sigma_x$ ergibt sich somit ledigleich aus den Drücken am Anfang und am Ende der Schnecke.
$$σ_v = \sqrt {σ_x^2 + 4τ_{xy}^2}$$
Die Schneckenfestigkeit ist gegeben, wenn die auftretende Vergleichspannung $\sigma_v$ kleiner der zulässigen Spannung ist. Die zulässige Spannung entspricht typischerweise der Streckgrenze $R_{p0,2}$.
Normalspannung
Schubspannung
Die auftretende Schubspannung infolge der Drehmomentbelastung berechnet sich nach folgender Formel:
$$\tau_{nenn} = \frac{M_t}{W_t} = \frac{M_t \cdot a_{max}}{I_p}$$
mit dem Drehmoment $M_t$, dem Widerstandsmoment $W_t$, dem polaren Flächenträgheitsmoment $I_p$ und dem maximalen senkrechten Abstand $a_{max}$ der Randfaser zur neutralen (spannungsfreien) Faser.
Ein weiterer Einflussfaktor zur Berechnung der Schneckenfestigkeit ist der Radius, der den Übergang von Schneckengrund zum Steg beschreibt. Für diesen geometrischen Einfluss ist eine Formzahl (abgesetzter Rundstab bei Torsion, DIN 743-2) definiert:
$$\alpha_{\tau} = 1+ \frac{1}{\sqrt{3,4 \cdot \frac{r}{t} + 38 \cdot \frac {r}{d} (1+ 2 \cdot \frac{r}{d})^2 + (\frac{r}{d})^2 \cdot \frac{d}{D}}}$$
mit dem Radius am Steg $r$, der Radiusdifferenz $t = \frac{D}{2} - \frac{d}{2} = h$, dem Schneckenkerndurchmesser $d$ und dem Schneckenaußendurchmesser $D$.
Aus der Formzahl kann weiterhin die Kerbwirkungszahl $\beta_{\tau}$ (DIN 743-2) berechnet werden:
$$\beta_{\tau} = \frac{\alpha_\tau}{n}$$ $$\text{mit}$$ $$n=1+\sqrt{G' \cdot mm} \cdot 10^{-0,7}$$ $$\text{und}$$ $$G'=\frac{1,15}{r}$$
Der Gesamteinflussfaktor $K_\tau$ (DIN 743-1) berechnet sich wie folgt:
$$K_\tau = \left( \frac{\beta_\tau}{K_2(d)}+\frac{1}{K_{F,\tau}}-1 \right)\cdot \frac{1}{K_V}$$ $$\text{mit}$$ $$K_2(d)=1-0,2 \frac{log(d/7,5\,mm)}{log(20)} \text{ mit } K_2(d>150\,mm)=0,8$$
sowie mit dem Einfluss der Oberflächenrauheit $K_{F,\tau}=1$ und dem Einfluss der Oberflächenverfestigung $K_V = 1,15$ für nitrierte Oberflächen.
Die unter Berücksichtigung der Einflussfaktoren auftretende Schubspannung ergibt sich zu:
$$\tau_{xy} = \tau_{max}=\tau_{nenn} \cdot K_\tau$$