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Stress Analysis
Equivalent Stress
The strength calculation determines the maximum load on the screw using the shear stress hypothesis according to TRESCA:
$$σ_v = \sqrt {(σ_x - σ_y)^2 + 4τ_{xy}^2}$$
Since the rotation of the screw is purely a torsion process, the hypothesis can be simplified by considering only the shear stress resulting from torsion. Additionally, bending of the screw can be neglected, meaning the normal stress in the y-direction can also be disregarded. The normal stress in the x-direction is determined solely by the pressures at the beginning and end of the screw.
$$σ_v = \sqrt {σ_x^2 + 4τ_{xy}^2}$$
The screw's strength is ensured when the resulting equivalent stress $\sigma_v$ is less than the permissible stress. The permissible stress typically corresponds to the yield strength $R_{p0,2}$.
Normal Stress
The normal stress in the x-direction within the screw results from the pressures at the beginning and end of the screw. In this context, the pressure at the hopper generally plays a minor role and is usually only relevant for melt extruders.
$$\sigma_x = \sigma_{x,Hopper} + \sigma_{x,ScrewTip}$$ $$\text{with}$$ $$\sigma_{x,Hopper} = \frac{p_{Hopper} \cdot A_{projected}}{A_{screw core}} = p_{Hopper}\cdot \frac{D^2-d^2}{d^2}$$ $$\text{and}$$ $$\sigma_{x,ScrewTip} = \frac{p_{Backpressure} \cdot A_{projected}}{A_{screw core}} = p_{Backpressure}\cdot \frac{D^2}{d^2}$$
With the outer diameter $D$ and the screw core diameter $d$.
The acting force results from the pressure and the projected area on which the pressure acts. It is assumed that the compressive stress is transmitted solely through the screw core.
Shear Stress
Die auftretende Schubspannung infolge der Drehmomentbelastung berechnet sich nach folgender Formel:
$$\tau_{nenn} = \frac{M_t}{W_t} = \frac{M_t \cdot a_{max}}{I_p}$$
mit dem Drehmoment $M_t$, dem Widerstandsmoment $W_t$, dem polaren Flächenträgheitsmoment $I_p$ und dem maximalen senkrechten Abstand $a_{max}$ der Randfaser zur neutralen (spannungsfreien) Faser.
Ein weiterer Einflussfaktor zur Berechnung der Schneckenfestigkeit ist der Radius, der den Übergang von Schneckengrund zum Steg beschreibt. Für diesen geometrischen Einfluss ist eine Formzahl (abgesetzter Rundstab bei Torsion, DIN 743-2) definiert:
$$\alpha_{\tau} = 1+ \frac{1}{\sqrt{3,4 \cdot \frac{r}{t} + 38 \cdot \frac {r}{d} (1+ 2 \cdot \frac{r}{d})^2 + (\frac{r}{d})^2 \cdot \frac{d}{D}}}$$
mit dem Radius am Steg $r$, der Radiusdifferenz $t = \frac{D}{2} - \frac{d}{2} = h$, dem Schneckenkerndurchmesser $d$ und dem Schneckenaußendurchmesser $D$.
Aus der Formzahl kann weiterhin die Kerbwirkungszahl $\beta_{\tau}$ (DIN 743-2) berechnet werden:
$$\beta_{\tau} = \frac{\alpha_\tau}{n}$$ $$\text{mit}$$ $$n=1+\sqrt{G' \cdot mm} \cdot 10^{-0,7}$$ $$\text{und}$$ $$G'=\frac{1,15}{r}$$
Der Gesamteinflussfaktor $K_\tau$ (DIN 743-1) berechnet sich wie folgt:
$$K_\tau = \left( \frac{\beta_\tau}{K_2(d)}+\frac{1}{K_{F,\tau}}-1 \right)\cdot \frac{1}{K_V}$$ $$\text{mit}$$ $$K_2(d)=1-0,2 \frac{log(d/7,5\,mm)}{log(20)} \text{ mit } K_2(d>150\,mm)=0,8$$
sowie mit dem Einfluss der Oberflächenrauheit $K_{F,\tau}=1$ und dem Einfluss der Oberflächenverfestigung $K_V = 1,15$ für nitrierte Oberflächen.
Die unter Berücksichtigung der Einflussfaktoren auftretende Schubspannung ergibt sich zu:
$$\tau_{xy} = \tau_{max}=\tau_{nenn} \cdot K_\tau$$